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Zum Ende der Seite springen Geschwindigkeitsgesetz
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Enhadrei Enhadrei ist männlich
Copper


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Geschwindigkeitsgesetz Auf diesen Beitrag antworten Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       Zum Anfang der Seite springen

Hallo hab auch mal wieder ne Frage:
Und zwar beschäftige ich mich grad mit Reaktionskinetik. Bei der Herleitung des Geschwindigkeitsgesetzes für Reaktionen erster Ordnung gillt ja

\frac{dc(A)}{c(A)} = -k*dt

jetzt muss laut Mortimer das ganze integriert werden und man erhält:

lnc(A) = -k*t + lnc_0(A)

wie kommt man darauf? Nach was integriere ich und wie erhalte ich dann diese Fomel. Wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte

Danke für jegliche Hilferofl

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Dieser Beitrag wurde 2 mal editiert, zum letzten Mal von Enhadrei: 12.01.2008 09:13.

12.01.2008 09:11 Enhadrei ist offline E-Mail an Enhadrei senden Beiträge von Enhadrei suchen Nehmen Sie Enhadrei in Ihre Freundesliste auf

Osmium Osmium ist männlich
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Die erste Gleichung bedeutet, die Änderung dc(A) (negatives Vorzeichen -> Abnahme) der Konzentration von A hängt von der Geschwindigkeitskonstante k, der vergangenen Zeit dt und der vorhandenen Konzentration von A selber ab.
In der Zeitspanne von 0 bis t nimmt die Konzentration dabei von c0(A) auf c(A) ab. Also integriert man die linke Seite von c0(A) bis c(A) und die rechte Seite von 0 bis t.

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12.01.2008 09:59 Osmium ist offline E-Mail an Osmium senden Beiträge von Osmium suchen Nehmen Sie Osmium in Ihre Freundesliste auf

Enhadrei Enhadrei ist männlich
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ok vielen dank schon mal. Die erste Gleichung hat ich schon verstanden. Ist ja auch nciht so schwer nachzuvollziehen. Mein Problem ist nun das integrieren. Ich hab leider keine Ahnung wie man da nun durch Integration z.B. auf den ln kommt. Man muss ja auch erst mal irgendwie die Stammfunktion bilden. Wie mach ich das hier? Wäre nett wenn mir das jemand mal Schritt für Schritt erklären oder noch besser vorrechnen könnte.
Aber schon mal danke für deine schnelle Hilfe Osmium winkewinke

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12.01.2008 19:28 Enhadrei ist offline E-Mail an Enhadrei senden Beiträge von Enhadrei suchen Nehmen Sie Enhadrei in Ihre Freundesliste auf

Aliena Aliena ist weiblich
Neutron


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Ich würg dich ja nur ungern ab, aber das ist eigent,lich Mathe wonach du hier fragst.
Was wonach integriert wird hat Osmium ja schon geschrieben.
Im Prinzip hat der Audruck auf der linken Seite der Gleichung die Form 1/x und dann guckst du in die mahtematische Formelsammlung deiner Wahl und da steht dann dass davon die Stammfunktion ln|x| ist.
Wenn man sich überlegt dass rechts -k ein Vorfaktor ist und t die Variable, ist auch klar dass -k zu -kt+c hochgeleitet wird. Dass c hier lnc0(A) gesetzt wird ergibt sich aus dem chemischen Zusammenhang der Mathe, schätze ich.

Ich weiß zwar noch dass wir das mit dem ln im MatheLK mal irgendwann hergeleitet haben aber das ist zu lange her^^. Wenn du die Herleitung nicht wirklich, wirklich unbedingt brauchst würd ich persönlich es mit einfach akzeptieren versuchen ;-)
12.01.2008 20:22 Aliena ist offline E-Mail an Aliena senden Beiträge von Aliena suchen Nehmen Sie Aliena in Ihre Freundesliste auf

Osmium Osmium ist männlich
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Man integriert beide Seiten, wobei dx der jeweilige Operator ist, in den genannten Grenzen, wobei man das -k als konstanten Faktor vorziehen darf.

\int_{c(A_0)}^{c(A)} \frac{dc(A)}{c(A)} = -k \cdot \int_{0}^{t} 1 \cdot { dt}

Die Stammfunktion von 1/x ist ln(x) und die Stammfunktion von 1 ist x.

ln[c(A)]\|_{c(A_0)}^{c(A)} = - k \cdot  (t)|_0^t

Man setzt die neben dem senkrechten Strich stehenden Grenzen ein und rechnet Obergrenze minus Untergrenze.

ln[c(A)] - ln[c(A_0)] = - k \cdot  (t - 0)

Noch ne kleine Umformung und man hat die gesuchte Gleichung.

\ln[c(A)]  = - k \cdot t + ln[c(A_0]


PS: Das ist mein allererster Latex-Versuch rofl

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12.01.2008 20:23 Osmium ist offline E-Mail an Osmium senden Beiträge von Osmium suchen Nehmen Sie Osmium in Ihre Freundesliste auf

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Hallo

Die Unverständlichkeit der mathematischen Integration mag an der vereinfachten Physiker-Mathematik liegen, nach welcher der Differentialquotient tatsächlich als Bruch behandelt wird. Mathematisch ist das absolut verboten! (Dennoch führt es zu richtigen Ergebnissen und wird deshalb angewandt).

Mathematisch korrekt lautet der Zusammenhang bei einer Kinetik 1. Ordnung (statt c(A) schreibe ich einfach c):

\frac{dc}{dt}=-k c

In Worten heisst das: Die Geschwindigkeit einer Reaktion 1. Ordnung hängt zu jedem Zeitpunkt von der Konzentration der betreffenden Spezies A ab.

Mathematiker formulieren die Gleichung auch gerne so:

\frac{dc}{dt} + k c = 0

Eine solche Gleichung, in der sowohl die erste Ableitung einer Funktion als auch die Funktion selber vorkommt nennt man in der Mathematik Differentialgleichung (in diesem Fall sogar genauer: eine homogenen lineare Differentialgleichung 1. Ordnung).

Um diese Gleichung zu lösen braucht man gar nicht viel rechnen. Man muss sich einfach mal überlegen: welche mathematische Funktion ergibt, wenn man sie ableitet wieder die ursprüngliche Funktion? Das hat sicherlich jeder mal gelernt: Es ist die Exponentialfunktion. Für c gilt also folgende zeitabhängigkeit:

c = c(0) e^{-kt}

Denn wenn man dies nach der Zeit t ableitet erhält man:

\frac{dc}{dt}=-k c(0) e^{-kt} = -k c

Die Lösung ist also korrekt. Jetzt kann man beide Seiten der Gleichung nach der Zeit t integrieren:

\int\limits_{0}^{t} \frac{dc}{dt} dt = \int\limits_{0}^{t} -k c(0) e^{-kt} dt

c(t) - c(0) = c(0) (e^{-kt} - 1)

\frac{c(t)}{c(0)} - 1 = e^{-kt} - 1

\frac{c(t)}{c(0)} = e^{-kt}

Jetzt kann man logarithmieren, um die Exponentialfunktion auf der rechten Seite der Gleichung umzukehren:

ln(\frac{c(t)}{c(0)}) =-kt

ln[c(t)] - ln[c(0)] = -kt

ln[c(t)] = -kt + ln[c(0)]

Und siehe da, wir erhalten die gewünschte Form.

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Gruss \mathfrak{M}ichael

Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert, zum letzten Mal von organicmaterials: 13.01.2008 00:11.

13.01.2008 00:09 organicmaterials ist offline E-Mail an organicmaterials senden Beiträge von organicmaterials suchen Nehmen Sie organicmaterials in Ihre Freundesliste auf

Enhadrei Enhadrei ist männlich
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Hey super vielen Dank euch allen. Das hat mir doch schon mal echt weitergeholfen :danke:

@organicmaterials: Hab eigentlich alles bei deinem Weg gut verstanden, bloß bei deiner Integration ist mir nicht klar wieso bei der Integration der 5. Gleichung bei der integrierten Form das k wegfällt. Solle das k nicht als konstanter Faktor gemeinsam mit dem c0 vor der Klammer stehen

:ueberleg:

Zitat:
Wenn du die Herleitung nicht wirklich, wirklich unbedingt brauchst würd ich persönlich es mit einfach akzeptieren versuchen


Das ist überhaupt nicht mein Motto! Gerade in einer Wissenschaft sollte man doch versuchen Zusammenhänge zu verstehen und zu erklären anstatt bloße Fakten auswendig zu lernen!!!

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14.01.2008 10:08 Enhadrei ist offline E-Mail an Enhadrei senden Beiträge von Enhadrei suchen Nehmen Sie Enhadrei in Ihre Freundesliste auf

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Hallo

Zitat:
Original von Enhadrei
@organicmaterials: Hab eigentlich alles bei deinem Weg gut verstanden, bloß bei deiner Integration ist mir nicht klar wieso bei der Integration der 5. Gleichung bei der integrierten Form das k wegfällt. Solle das k nicht als konstanter Faktor gemeinsam mit dem c0 vor der Klammer stehen


Ja, das sind zwei Schritte in einem. Natürlich kann man das k als Konstante vor das Integral ziehen, aber es gilt hier:

\int e^{-kt} dt = -\frac{1}{k} e^{-kt}

und somit kürzt sich k heraus.

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Gruss \mathfrak{M}ichael
14.01.2008 10:52 organicmaterials ist offline E-Mail an organicmaterials senden Beiträge von organicmaterials suchen Nehmen Sie organicmaterials in Ihre Freundesliste auf

Enhadrei Enhadrei ist männlich
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Ah ok. Dann ist das klar. Besten Dank für die professioinelle Hilfe. Das hat mir echt was gebracht

:danke: :danke: :danke:

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15.01.2008 13:10 Enhadrei ist offline E-Mail an Enhadrei senden Beiträge von Enhadrei suchen Nehmen Sie Enhadrei in Ihre Freundesliste auf

Aliena Aliena ist weiblich
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hmm @ Enhadrei du hast schon recht. sollte man auf jeden fall.
ich hab mich im nachhinein auch geärgert dass ich mein halbwissen in den raum stellen musste. ich hättes einfach lassen sollen => sry für den unprofessionellen, doofen kommentar. weiß auch nicht was mich da geritten hat ^^
15.01.2008 19:00 Aliena ist offline E-Mail an Aliena senden Beiträge von Aliena suchen Nehmen Sie Aliena in Ihre Freundesliste auf

Enhadrei Enhadrei ist männlich
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Entschuldigung akzeptiert rofl

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16.01.2008 17:02 Enhadrei ist offline E-Mail an Enhadrei senden Beiträge von Enhadrei suchen Nehmen Sie Enhadrei in Ihre Freundesliste auf

Neuling Neuling ist männlich
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Hallo, ich habe auch eine Frage zur Reaktionsgeschwindigkeit:

Ich beziehe mich auf eine Reaktion von

A + B ---> C

Es handle sich hierbei um eine Reaktion 2. Ordnung, bei der A und B äquimolar umgesetzt werden und immer im Verhältnis von 1:1 vorliegen.

Was ich verstanden habe:

v = - \frac{d c(A)}{d t} =- \frac{d c(B)}{d t} = \frac{d c(C)}{d t}

Wozu ich eine Frage stellen möchte ist der weitere Teil

 ... = k \cdot c(A) \cdot c(B)

k hat die Einheit [ (\frac{L}{mol})^{2-1} \cdot \frac{1}{s}]

So ergibt sich ja für jede Zeit eine andere Konzentration und damit auch eine andere Geschwindigkeit.

---> Angenommen, mir ist der Wert von k bekannt. So müsste ich ja bei Einsetzen der richtigen Werte auf der einen Seite durch die Differentialgleichung einen Wert erhalten, der dem Wert gleich ist, den ich durch Multiplizieren der Konzentration von A und B mit k erhalte.
Doch woher weiß ich, welchen Konzentrationswert ich für A bzw. B einsetze? Die Geschwindigkeit der Differentialgleichung gibt ja immer eine Durchschnittsgeschwindigkeit an, also berechnet aus einer Zeitspanne, das heißt, ich habe zwei Konzentrationswerte, in dem Gleichungsteil

 k \cdot c(A) \cdot c(B)

kann ich jedoch immer nur einen einsetzen. Ist es also überhaupt machbar, so immer den gleichen Wert zu erhalten?
Muss außerdem ein v/c-Diagramm immer eine lineare Abhängigkeit zeigen?

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Ach, und da fällt mir noch eine mathematische Frage ein:

Wenn ich die Momentangeschwindigkeit einer Verbindung zu einem bestimmten Zeitpunkt haben möchte, muss ja die Zeitdifferenz gegen null gehen. Wie kann ich das in meiner Rechnung einbringen? Wenn ich einen Grenzwert aufschreibe also v = lim ..., wobei dt gegen 0, erhalte ich ja keine absolute Zahl (denn schreibe ich eine Dezimalzahl auf, könnte diese theoretisch noch kleiner sein, wenn dt kleiner wird). Muss ich dann einfach als Differenz eine möglichst kleine Zahl nehmen (solange da mein Taschenrechner mitspielt), z.B. 10-5?

Danke, bin auf Antworten gespannt.

Achja: Wie kennzeichne ich überhaupt die Bildungsgeschwindigkeit einer Verbidnung? Mit v (wie ich es oben getan habe), mit vR oder mit r? Ich habe bisher alles gesehen, gibt es da was richtiges und falsches?

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03.10.2009 16:30 Neuling ist offline Beiträge von Neuling suchen Nehmen Sie Neuling in Ihre Freundesliste auf

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Hallo

Zitat:
Original von Neuling
Angenommen, mir ist der Wert von k bekannt. So müsste ich ja bei Einsetzen der richtigen Werte auf der einen Seite durch die Differentialgleichung einen Wert erhalten, der dem Wert gleich ist, den ich durch Multiplizieren der Konzentration von A und B mit k erhalte.
Doch woher weiß ich, welchen Konzentrationswert ich für A bzw. B einsetze? Die Geschwindigkeit der Differentialgleichung gibt ja immer eine Durchschnittsgeschwindigkeit an, also berechnet aus einer Zeitspanne, das heißt, ich habe zwei Konzentrationswerte, in dem Gleichungsteil


Die vorliegende Differentialgleichung kann man lösen, wenn die Anfangsbedingungen definiert sind. In diesem Fall kann man z.B. definieren:

Die Anfangskonzentration von A sei c_0(A)
Die Anfangskonzentration von B sei c_0(B)

Zu jedem Zeitpunkt der Reaktion ist dann die Konzentration von B gegeben durch:

c(B) = c(A) + [c_0(B) - c_0(A)]

Da A und B im gleichen Verhältnis miteinander reagieren bleibt die Differenz der Anfangskonzentrationen während der gesamten Reaktion bestehen.

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04.10.2009 09:54 organicmaterials ist offline E-Mail an organicmaterials senden Beiträge von organicmaterials suchen Nehmen Sie organicmaterials in Ihre Freundesliste auf

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Zitat:
Zu jedem Zeitpunkt der Reaktion ist dann die Konzentration von B gegeben durch:  c(B) = c(A) + [c_0(B) - c_0(A)]


Erstmal danke für die Antwort.

Da A und B 1 zu 1 vorliegen, kann man doch vereinfacht sagen (ich beziehe mich auf die Gleichung aus dem Zitat):

c(B) = c(A) , weil ja c0 beider Stoffe gleich ist und so die Differenz 0 ist.

Oder irre ich mich hier?

Doch um meine Verwirrung deutlicher auf den Punkt zu bringen, das hatte ich vllt. oben nicht deutlich genug formuliert:

Die Differentialgleichung soll den gleichen Wert beschreiben wie die Konstante k mal das Produkt der Konzentrationen der beiden Stoffe.
Das kann ich mir nicht vorstellen, weil mir nicht klar ist, welche Konzentrationen ich dort einsetzen soll, denn in der dazugehörigen Differentialgleichung betrachtet man immer zwei Konzentrationen zu zwei unterschiedlichen Zeiten, in dem Gleichungsteil mit der Konstanten k ist jedoch nicht definiert, welche Konzentration denn nun gemeint ist, also c1, c2 oder gar die Differenz (wenn ich mir das so anschaue, meine ich, dass keine dieser Werte in Beziehung mit k die gleiche Geschwindigkeit liefert wie die Differentialgleichung.

Noch einmal zur Erinnerung: Oben hatte ich noch eine zweite Frage, die mir auch sehr wichtig erscheint.

Danke rofl

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Hallo

ich glaube du bringst hier einiges durcheinander. Was du mit "Differentialgleichung" bezeichnest, ist in Wahrheit der Differentialquotient. Also das

-\frac{dc(A)}{dt}

ist der Differentialquotient. Dieser Differentialquotient ist gleichbedeutend mit der ersten Ableitung der Konzentrationsfunktion nach der Zeit. Anschaulich bedeutet das: wie ändert sich die Konzentration von Komponente A mit der Zeit.

Als Differentialgleichung bezeichnet man die komplette Gleichung

-\frac{dc(A)}{dt} = k c(A) c(B)

denn eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die sowohl eine Funktion als auch ihre Ableitung beinhaltet. In obiger Gleichung steht auf der linken Seite des Gleichheitszeichen die Ableitung der Konzentrationsfunktion c(A) nach der Zeit und auf der rechten Seite die Funktion c(A) selber. Wichtig ist hier: c(A) und c(B) sind Funktionen der Zeit!

Der Differentialquotient

v = -\frac{dc(A)}{dt}

stellt übrigens (rein mathematisch betrachtet) schon die Momentangeschwindigkeit dar. Der "limes" den du beschreibst wurde ja hier schon gebildet, deswegen ist es ja die erste Ableitung.

Jetzt zu den Anfangsbedingungen. Ich habe geschrieben:

c(B) = c(A) + [c_0(B) - c_0(A)]

du hast argumentiert, dass die Anfangskonzentrationen gleich sein müssen, da A und B in einer 1:1-Reaktion reagieren. In der Praxis wird man aber bei einer solchen Reaktion meist eine Komponente im Überschuss zugeben, damit eine möglichst 100%-ige Umsetzung erfolgt. D. h. die Anfangskonzentrationen werden i. A. nicht gleich sein.

Um nun mit der Differentialgleichung arbeiten zu können muss man sie mathematisch lösen. D. h. man muss ein mathematische Funktion für c(A) finden, für welche die Ableitung gleich einer Konstanten mal dem Produkt der Funktionen c(A) und c(B) selber ist.

Mit etwas Mathematik findet man folgende komplizierte Lösungsfunktion:

c(A) = \frac{c_0(A) [c_0(A)-c_0(B)] e^{[c_0(A)-c_0(B)kt]}}{c_0(A) e^{[c_0(A)-c_0(B)kt]} - c_0(B)}

Diese gilt allerdings nur dann, wenn die Anfangskonzentrationen verschieden sind. Für den Fall, dass die Anfangskonzentrationen gleich sind (deine Annahme) wird die Sache einfacher: Hier gilt zu jedem Zeitpunkt c(A) = c(B). Somit wird deine Differentialgleichung einfacher:

-\frac{dc(A)}{dt} = k c^2(A)

Lösen dieser Differentialgleichung ergibt:

c(A) = \frac{1}{kt + \frac{1}{c_0(A)}}

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Gruss \mathfrak{M}ichael
04.10.2009 14:43 organicmaterials ist offline E-Mail an organicmaterials senden Beiträge von organicmaterials suchen Nehmen Sie organicmaterials in Ihre Freundesliste auf

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:applaus:

Vielen Dank. Du hast mir sehr geholfen!! Es war mir in der Tat ein Problem mit den Begriffen der Differentialrechnung umzugehen rofl Denn damit habe ich noch nie (bewusst) gearbeitet, außer vielleicht in der Physik, wo wir gerade mit Bewegungen und Geschwindigkeiten angefangen haben.

Aber jetzt sind mir einige Begriffe klarer vor Augen.

Jetzt zum Schluss noch einmal eine Formulierungsfrage. Ist das so korrekt ausgedrückt?:

 v= lim \frac{d c (C)}{d t} = k(c (A, t=0) - c(C))^2
Dabei noch unter "lim" d t -> 0

Oder kann/muss ich "lim" weglassen, weil der Bruch bereits den Grenzwert beschreibt?

Noch einmal vielen Dank für die Unterstützung.

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04.10.2009 14:50 Neuling ist offline Beiträge von Neuling suchen Nehmen Sie Neuling in Ihre Freundesliste auf

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Hallo

Wenn man das ganze streng von der mathematischen Seite betrachtet, dann muss man sehr aufpassen. Man kann für die Reaktionsgeschwindigkeit folgenden Ausdruck formulieren:

v = \frac{\Delta c}{\Delta t}

Das griechische \Delta steht hierbei für die mathematische Differenz zweier Werte. Gemeint ist also

v = \frac{c(t_2) - c(t_1)}{t_2 - t_1}

In Worten: Die Änderung der Konzentration einer Komponente im Zeitraum zwischen t1 und t2. Man nennt dies auch sinnvollerweise den Differenzenquotient. Seine Werte kann man tatsächlich mit Hilfe einer Messung bestimmen.

Dieses Verfahren leidet aber an einer gewissen Ungenauigkeit, da sich die Konzentration in einem gegebenem Zeitraum normalerweise nicht gleichmäßig (linear) verändert. Man wählt deshalb immer kleinere Zeitabstände t2-t1, um die Genauigkeit zu erhöhen.

Mathematisch kommt man dann zum Grenzwert des Differenzenquotienten, wenn die Zeitdifferenz gegen Null geht. Das geht - wie du bereits beschrieben hast - über den "limes":

\underset{\Delta t\to 0}{lim} \frac{\Delta c}{\Delta t} = \frac{dc}{dt}

Aus dem Differenzenquotient wird so der Differentialquotient, welcher nichts anderes als die erste Ableitung der Konzentrationsfunktion nach der Zeit darstellt. Der Differentialquotient sieht zwar wie ein Bruch aus (und heisst auch "Quotient"), man sollte ihn aber aus streng mathematischer Sicht nicht als solchen betrachten. Vielmehr sollte man das ganze Konstrukt \frac{dc}{dt} als eine Einheit betrachten, die soviel bedeutet wie "Ableitung der Funktion c nach der Variablen t". Naturwissenschaftler (oft Physiker) rechnen aber meist damit, als sei es ein "normaler" Bruch. Das ist streng genommen nicht erlaubt, führt aber (wie man auch mathematisch beweisen kann) zum richtigen Ergebnis.

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04.10.2009 19:54 organicmaterials ist offline E-Mail an organicmaterials senden Beiträge von organicmaterials suchen Nehmen Sie organicmaterials in Ihre Freundesliste auf

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Ah, ich dachte immer das "d" würde einfach nur "delta" heißen und hatte mich immer gewundert, warum alle zu faul sind, statt einem "d" ein "delta" zu schreiben, was viel schöner ist, finde ich. Jetzt weiß ich, wieso zwinker

Danke
Kaffee

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05.10.2009 17:07 Neuling ist offline Beiträge von Neuling suchen Nehmen Sie Neuling in Ihre Freundesliste auf

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