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Zetty   Zeige Zetty auf Karte Zetty ist männlich
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Geschwindigkeitsberrechnungen. Auf diesen Beitrag antworten Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       Zum Anfang der Seite springen

Ich steh auf'n Schlauch...

Also ich soll die Geschwindigkeitsgleichung für einen Körper aufstellen der in verschiedenen Abständen auf seine Geschwindigkeit gemessen wurde.

t1=0,8s V1=0,094m/s
t2=1,6s V2=0,163m/s
t3=2,4s V3=0,242m/s
t4=3,2s V4=0,319m/s

Ja gut Beschleunigung berechnen.
a=(delta)v/(delta)t

a1=0,094m/s²
a2=0,011m/s²
a3=0,099m/s²
a4=0,096m/s²

Ja gut erst mal Formel zusammen fusseln...

V(t)= a1*t + a2*(t-0,8s) + a3*(t-1,6s) + a4(t-2,4s)
V(t)= 0,094m/s²*t + 0,11m/s²*t - 0,088m/s + 0,099m/s²*t - 0,158m/s + 0,096m/s²*t - 0,23m/s

V(t) = 0,399m/s²*t - 0,476m/s Ja und was jetz?




Was bedeutet eigentlich V in abhängigkeit von Zeit?
Ich weiß zwar dass ich t in meinem Term hab aber ich versteh den Sinn nicht...

nebenbei wär nett wenn ihr die Rechnung auf fehler überprüft...

Danke bei der Beantwortung dieser Frage...
08.12.2008 21:36 Zetty ist offline E-Mail an Zetty senden Beiträge von Zetty suchen Nehmen Sie Zetty in Ihre Freundesliste auf

Paradoxtom   Zeige Paradoxtom auf Karte Paradoxtom ist männlich
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Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Nicht jede Bewegung erfolgt mit gleichbleibender Geschwindigkeit. Bei zunehmender Geschwindigkeit ist die Bewegung beschleunigt, bei abnehmender Geschwindigkeit verzögert. Das Kennzeichen einer nicht gleichförmigen Bewegung ist die Beschleunigung a. Darunter versteht man den Quotienten aus einer Geschwindigkeitsänderung \Delta v = v_2 - v_1 und der Zeit \Delta t , in der sie erfolgt.

Beschleunigung = \frac {Geschwindigkeitsaenderung}{Zeit}       a = \frac {\Delta v}{\Delta t}

Aus dieser Gleichung ergibt sich als Einheit der Beschleunigung:

[a] = \frac {[\Delta v]}{[\Delta t]} = \frac {m/s}{s}  =  \frac {m}{s^2} oder bei kleinen Strecken \frac {cm}{s^2}

Bei einer verzögerten Bewegung ist v_2 kleiner als v_1 und daher \Delta v = v_2 - v_1 negativ. Daher wird auch die Beschleunigung a = \Delta v / \ \Delta t negativ. Um nicht mit negativen Beschleunigungen rechnen zu müssen, führt man ihren negativen Wert als Verzögerung a´ = -a ein, der bei einer verzögerten Bewegung positiv ist.

Verzoegerung \acute a = - \frac {\Delta V}{\Delta t}

Ist die Geschwindigkeitsänderung in gleichen Zeitintervallen gleich, so spricht man von einer gleichmäßig beschleunigten bzw. von einer gleichmäßig verzögerten Bewegung.

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09.12.2008 07:32 Paradoxtom ist offline E-Mail an Paradoxtom senden Homepage von Paradoxtom Beiträge von Paradoxtom suchen Nehmen Sie Paradoxtom in Ihre Freundesliste auf

organicmaterials   Zeige organicmaterials auf Karte organicmaterials ist männlich
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RE: Geschwindigkeitsberrechnungen. Auf diesen Beitrag antworten Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       Zum Anfang der Seite springen

Hallo

Zitat:
Original von Zetty
a1=0,094m/s²
a2=0,011m/s²
a3=0,099m/s²
a4=0,096m/s²


Wie kommst du denn auf diese Werte?
Am besten schauen wir uns die Situation mal grafisch an:



Wie du siehst liegen deine vier Messpunkte ungefähr (aber nicht genau!) auf einer Geraden. Diese habe ich mal gestrichelt eingezeichnet. Man könnte also davon ausgehen, dass die Geschwindigkeit sich hier gleichmäßig vergrößert. Das dies nicht der Fall sein muss, zeigt folgende Variante:



Auch hier liegen deine Messpunkte allesamt auf einer Geschwindigkeits-Zeit-Kurve. Diese ist aber alles andere als linear.
Gehen wir aber einfach mal von einer gleichmäßigen Beschleunigung aus, wie in der ersten Abbildung dargestellt. Normalerweise würde man jetzt die mathematische Gleichung der gestrichelt eingezeichneten Regressionsgerade berechnen und wäre dann fertig. Ich vermute aber mal, das dies den mathematischen Anspruch eures Physik-Unterrichts ein wenig übersteigt (nich böse gemeint rofl ).

Du könntest aber die Messwerte in drei unterschiedliche Beschleunigungsintervalle einteilen (s. Skizze unten blau, rot, grün). Für jedes dieser Intervalle kannst du dir dann einen Beschleunigungswert mit Hilfe der dir bekannten Formel ausrechnen. D.h. du benötigst jedes mal die Änderung der Geschwindigkeit \Delta v und das zugehörige Zeitintervall \Delta t . Du erhälst dann drei Beschleunigungswerte. Diese würde ich unter der Annahme einer gleichmäßigen Beschleunigung einfach mitteln und dann die Bewegungsgleichung aufstellen.



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10.12.2008 10:43 organicmaterials ist offline E-Mail an organicmaterials senden Beiträge von organicmaterials suchen Nehmen Sie organicmaterials in Ihre Freundesliste auf

Enhadrei Enhadrei ist männlich
Copper


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Zitat:
Um nicht mit negativen Beschleunigungen rechnen zu müssen, führt man ihren negativen Wert als Verzögerung a´ = -a ein, der bei einer verzögerten Bewegung positiv ist.


Hat das einen konkreten Nutzen? Wenn ich mir z.B. die allgemeine Bewegungsgleichung in einem linearen System anschau, dann gilt:

s(t) = 0,5at2 + v0t + s0

es ist wichtig bei einer negativen Beschleunigugn ("Bremsen") für die Beschleunigung a negative Werte einzusetzen. Würde ich hier die Verzögerung nehmen und +a einsetzen würde dies doch zu einem falschen Ergebiss führen?

Zitat:
Original von Zetty
a1=0,094m/s²
a2=0,011m/s²
a3=0,099m/s²
a4=0,096m/s²


Das diese Werte falsch sein müssen erkennst du schon daran, dass sie nicht konstant sind. In der Graphik von organicmaterials sieht man aber deutlich, dass die Beschleunigung konstant ist (relativ gleichmäßige Geschwindigkeitszunahme).

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Ein Blick über den Tellerrand - mein photographisches Schaffen:

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10.12.2008 18:32 Enhadrei ist offline E-Mail an Enhadrei senden Beiträge von Enhadrei suchen Nehmen Sie Enhadrei in Ihre Freundesliste auf

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Mathe geh' nach Hause KEINER mag dich!



naja gut dass hab ich so relativ kapiert.
Wir haben heute so ne neue Formel gelernt...

2as = v1² + v2²

Damit soll man irgendwas berechnen können meine Frage was denn?


Diese Formel ist uns gegeben worden bei folgender Aufgabe.

Berechnen Sie die Bremszeit, die ein Auto braucht, bei einer Geschwindigkeit von 65 km/h, wenn es auf 5 km/h abgebremst Werden soll.
Der Bremsweg beträgt 30m.


Ich hab's halt so gemacht:

a=V1-V0 / t
a=(5km/h - 65km/h) /3,6*t
a= -16,7m/s / t



s(t)= a*t²/2 + V0*t
30m =*-8,35m/s / t + 18,1m/s * t
30m = -8,35m/s*t + 18,1m/s*t
30s = 9,75t
3,1s = t


Und wozu brauch ich jetzt die Formel wenn ich so schon drauf gekommen bin?!

Danke für eure Hilfen!
10.12.2008 18:49 Zetty ist offline E-Mail an Zetty senden Beiträge von Zetty suchen Nehmen Sie Zetty in Ihre Freundesliste auf

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Hier mal Beispielaufgaben:

http://www.bs-gelnhausen.de/typo3/filead...te_Bewegung.pdf

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10.12.2008 20:17 Paradoxtom ist offline E-Mail an Paradoxtom senden Homepage von Paradoxtom Beiträge von Paradoxtom suchen Nehmen Sie Paradoxtom in Ihre Freundesliste auf

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Also fangen wir mal von ganz vorne an...

Bewegungslehre

1. Gleichförmige, geradlinige Bewegung

Bewegt sich ein Körper so, dass er in gleichen Zeitabschnitten auf geradliniger Bahn gleiche Strecken zurücklegt, so bezeichnet man seine Bewegungen als gleichförmig. Das Verhältnis zwischen dem zurückgelegten Weg und der benötigten Zeit ist seine Geschwindigkeit.

Zitat:
Geschwindigkeit = \frac {Weg}{Zeit}      v = \frac {s}{t}


Hebt z.B. ein Kran eine Last gleichförmig in 15 s um 6m, so erhält man die Hubgeschwindigkeit der Last:

v = \frac {6m}{15s} = 0,4 \frac {m}{s}

Die Einheit der Geschwindigkeit ist, der Berechnungsweise entsprechend, der Quotient aus einer Längen- und einer Zeiteinheit. Meist verwendet man wie bei dem obigen Beispiel m/s, bei Fahrzeugen des Verkehrs aber auch oft km/h. Man kann die eine Einheit in die andere umrechnen. Legt z.B. ein Fahrzeug in 3 Stunden einen Weg von 135 km zurück, so findet man die Geschwindigkeit:

v = \frac {135 km}{3h} = 45 \frac {km}{h} = 45 \frac {1000 m}{3600 s} = \frac {45 m}{3,6 s} = 12,5 \frac {m}{s}

Eine Umformung der benutzten Gleichung gibt die Möglichkeit, den zurückgelegten Weg aus der Geschwindigkeit und der Zeit zu berechnen.

Zitat:
Weg = Geschwindigkeit  \cdot  Zeit    s = v \cdot  t


Nur selten erfolgt eine Bewegung genau gleichförmig. So wäre es z. B. nicht richtig, aus der Angabe "135 km in 3 Stunden" zu schließen, dass das betreffende Fahrzeug auf der ganzen Strecke die Geschwindigkeit 45 km/h besaß. Je nach den Straßen und Verkehrsverhältnissen war die Geschwindigkeit bisweilen größer oder kleiner. 45 km/h ist nur die Durchschnittsgeschwindigkeit oder die mittlere Geschwindigkeit vm. In den obigen Gleichungen ist bei solchen Bewegungen die mittlere Geschwindigkeit einzusetzen.

Zitat:
v_m = \frac {s}{t}                   s = v_m \cdot  t


Den Zusammenhang zwischen Weg, Geschwindigkeit und Zeit erkennt man sehr deutlich aus einer graphischen Darstellung, dem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm (v-t-Diagramm). Auf der waagrechten Achse werden die Zeit, nach oben die Geschwindigkeit angetragen. Ist diese gleichförmig, so wird sie im Diagramm durch eine Parallele zur Zeitachse dargestellt (Abb.1). Entsprechend der Gleichung: Weg = Geschwindigkeit * Zeit wird der Weg durch die Fläche zwischen der Zeitachse und der die Geschwindigkeit kennzeichnenden Geraden dargestellt.

Abb.1 Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm bei gleichförmiger Bewegung



Abb.2 Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm bei veränderlicher Geschwindigkeit



Wechselt die Geschwindigkeit, so entsteht eine unregelmäßige Linie, die bei höherer Geschwindigkeit über, bei kleinerer Geschwindigkeit unter der Geraden der Durchschnittsgeschwindigkeit vm verläuft (Abb.2). Auch hier gilt die Beziehung, dass die Fläche zwischen Geschwindigkeitslinie und Zeitachse den Weg darstellt. Das Rechteck bis zur Geraden der Durchschnittsgeschwindigkeit vm muß ebensogroß sein wie der Inhalt der unregelmäßigen Fläche unter der Linie der veränderlichen Geschwindigkeit.

Abb.2 Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm bei veränderlicher Geschwindigkeit

Zitat:
Beispiel:

Ein Kfz-Motor hat einen Hub von 80 mm. Wie groß ist die mittlere Kolbengeschwindigkeit bei einer Drehzahl von 3800 U/min?

Weg des Kolbens bei einer Drehung der Kurbelwelle:

2 \cdot  80 mm = 160 mm

Weg des Kolbens in einer Minute:

s = 3800 \frac {1}{min} \cdot  160 mm \cdot  1 min = 608000 mm = 608 m

Mittlere Geschwindigkeit:

v_m = \frac {608 m}{60 s} = \underline {10,13 \frac {m}{s}}


2. Gleichförmige Drehbewegung

Die Gleichungen der Nr 1. gelten nicht bloß für eine geradlinige, sondern für jede Strecke, die mit gleichbleibender Geschwindigkeit zurückgelegt wird. Wenn ein Rad sich um eine Achse mit unveränderlicher Drehgeschwindigkeit dreht, so beschreibt jeder Punkt des Rades einen Kreis, den er mit gleichbleibender Geschwindigkeit durchläuft. Weil aber ein äußerer Punkt des Rades auf einem größeren Kreis umäuft als ein innerer Punkt, ist auch seine Geschwindigkeit größer. Das gleiche gilt bei jedem Gegenstand, der sich um seine Achse dreht: Die Bahngeschwindigkeit eines Punktes ist um so größer, je größer seine Entfernung von der Drehachse ist. Deshalb kann man bei einem umlaufenden Rad keine für alle Punkte gültige Geschwindigkeit angeben.

Alle Punkte eines umlaufenden Körpers führen in einer bestimmten Zeit die gleiche Zahl Umdrehungen aus. Deshalb kann man die Drehfrequenz n, nämlich den Quotienten aus der Zahl N der Umdrehungen und der dazu benötigten Zeit t als Maß für die Drehgeschwindigkeit verwenden:

Zitat:
Drehfrequenz = \frac {Zahl d. Umdrehungen}{Zeit}                    n = \frac {N}{t}


Bei einer Umdrehung legt ein Punkt eine Kreisbahn d \cdot  \pi zurück. Bei N Umdrehungen ist dann der Weg s = d \cdot  \pi \cdot  N . Aus der Gleichung v = s/t erhält man jetzt eine Beziehung zwischen der Umlaufgeschwindigkeit v und der Drehfrequenz n.

Zitat:
v = \frac {s}{t} = \frac {d \cdot  \pi \cdot  N}{t} = d \cdot  \pi \cdot  n


Meist wird n mit der Einheit "Umdrehungen in einer Minute" (1/min) verwendet. Setzt man dann d in m ein, so ergibt sich v in m/min. Wünscht man jedoch v in m/s, so ist n durch eine Division mit 60 in die Drehzahl je Sekunde umzuformen und dann einzusetzen.

Die Umfangsgeschwindigkeit ist bei den Rädern eines Wagens gleich der Fahrgeschwindigkeit, bei den Rollen und der Seiltrommel eines Kranes ist sie gleich der Seilgeschwindigkeit. Dasselbe gilt für Riemengeschwindigkeit und Umfangsgeschwindigkeit einer Riemenscheibe, wobei allerdings wegen des "Riemenschlupfes" eine kleine Abweichung eintreten kann. Auch die Schnittgeschwindigkeit einer Kreissäge oder bei einem in einer Drehbank eingespannten Werkstück stimmt mit der Umfangsgeschwindigkeit überein.

Statt der Drehfrequenz n verwendet man zur Angabe der Drehgeschwindigkeit auch die Winkelgeschwindigkeit \omega (griech. Buchstabe Omega). Sie ist der Quotient aus der Umlaufgeschwindigkeit und dem Radius der Umlaufbahn:

Zitat:
\omega = \frac {v}{r} = \frac {2 r \pi  \cdot  n}{r} = 2 \pi  \cdot  n             [\omega] = \frac {1}{min} oder \frac {1}{s}


Da in der Gleichung der Radius durch Kürzen wegfällt, ist die Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden Körpers von der Entfernung des Punktes von der Achse unabhängig.

Zitat:

1. Beispiel:

Die Seiltrommel eines Kranes hat den Durchmesser d = 18 cm und die Drehfrequenz n = 45 U/min. Die Last hängt an einer Rolle. Berechnen Sie die Hubgeschwindigkeit in m/s.

Umfangsgeschwindigkeit v = d  \cdot  \pi  \cdot  n

v = 0,18  \cdot  3,14  \cdot  45 \frac {m}{min} = 25,45 \frac {m}{min} = \frac {25,45}{60} \frac {m}{s} = 0,424 \frac {m}{s}

Hubgeschwindigkeit = \frac {1}{2} Seilgeschwindigkeit = \frac {v}{2} = \underline {0,212 \frac {m}{s}}


2. Beispiel:

Welche Drehfrequenz hat das Rad eines Fahrrades von 66 cm Durchmesser bei einer Geschwindigkeit von 18 km/h?

v = d  \cdot  \pi  \cdot  n;       n = \frac {v}{d  \cdot  \pi}

Geschwindigkeit: v = 18 \frac {km}{h} = \frac {18  \cdot  1000}{60} \frac {m}{min} = 300 \frac {m}{min}

Durchmesser: d = 66 cm = 0,66 m

n = \frac {300}{0,66 \pi} \frac {1}{min} = \underline {145 \frac {1}{min}}

Die Drehfrequenz beträgt 145 Umdrehungen je Minute.



3. Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Nicht jede Bewegung erfolgt mit gleichbleibender Geschwindigkeit. Bei zunehmender Geschwindigkeit ist die Bewegung beschleunigt, bei abnehmender Geschwindigkeit verzögert. Das Kennzeichen einer nicht gleichförmigen Bewegung ist die Beschleunigung a. Darunter versteht man den Quotienten aus einer Geschwindigkeitsänderung \Delta v = v_2 - v_1 und der Zeit \Delta t , in der sie erfolgt.

Zitat:
Beschleunigung = \frac {Geschwindigkeitsaenderung}{Zeit}       a = \frac {\Delta v}{\Delta t}


Aus dieser Gleichung ergibt sich als Einheit der Beschleunigung:

Zitat:
[a] = \frac {[\Delta v]}{[\Delta t]} = \frac {m/s}{s}  =  \frac {m}{s^2} oder bei kleinen Strecken \frac {cm}{s^2}


Bei einer verzögerten Bewegung ist v_2 kleiner als v_1 und daher \Delta v = v_2 - v_1 negativ. Daher wird auch die Beschleunigung a = \Delta v / \ \Delta t negativ. Um nicht mit negativen Beschleunigungen rechnen zu müssen, führt man ihren negativen Wert als Verzögerung a´ = -a ein, der bei einer verzögerten Bewegung positiv ist.

Zitat:
Verzoegerung \acute a = - \frac {\Delta V}{\Delta t}


Ist die Geschwindigkeitsänderung in gleichen Zeitintervallen gleich, so spricht man von einer gleichmäßig beschleunigten bzw. von einer gleichmäßig verzögerten Bewegung.


Gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus der Ruhe

Zur Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Zeit, Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung bei einer beschleunigten Bewegung, die aus dem Ruhezustand beginnt, machen wir einen Versuch, bei dem ein Gleiter auf einer Luftkissenfahrbahn von einem Hängegewicht über einen Faden beschleunigt wird.

In der Tabelle sind in den ersten Spalten die Meßergebnisse für s, t und \Delta t eingetragen. In der folgenden Spalte steht die nach der Formel v = \frac {10 cm }{\Delta t} berechnete Geschwindigkeit. Die nächste Spalte enthält den Quotienten v/t, dessen Bedeutung sich aus der folgenden Betrachtung ergibt.



Trägt man in einem Diagramm (Abb.3) v als Funktion von t auf, so liegen die Punkte nahezu auf einer Geraden durch den Nullpunkt. Der Quotient aus v und t ist daher konstant und stellt die Steigung \frac {\Delta v}{\Delta t} der Geraden dar.

Abb.3 v-t-Diagramm einer gleichmäßigen beschleunigten Bewegung



Nach der am Anfang gegebenen Definition ist dies die Beschleunigung a der entstehenden Bewegung: a = v/t.

Aus den Messungen für 20 cm und 80 cm erkennt man, dass für den vierfachen Weg nur die doppelte Zeit benötigt wird, dass also bei diesen beiden Messungen s proportional zu t2 ist. Wir bilden deshalb den Quotienten \frac {s}{t^2} und tragen auch ihn in die Tabelle ein. Es ergibt sich ein konstanter Wert, der halb so groß ist, wie die oben gefundene Beschleunigung a.

Bei der entstehenden Bewegung ist die Beschleunigung konstant, es handelt sich also um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, die aus der Ruhe beginnt. Aus den beiden durch den Versuch gefundenen Beziehungen v = a  \cdot  t und \frac {s}{t^2} = \frac {a}{2} erhält man durch Umstellen die Gleichung dieser Bewegung:

Zitat:
v = a  \cdot  t    s = \frac {a}{2}  \cdot  t^2


Da sich im v-t-Diagramm eine Gerade ergibt, ist die Fläche zwischen dieser Geraden und der Zeitachse, die nach 1. dem Weg entspricht, ein Dreieck. Berechnet man seinen Inhalt, so erhält man eine Bestätigung für die experimentell gefundene Formel zur Berechnung des Weges:

Zitat:
A \equiv  s = \frac {1}{2}  \cdot  t  \cdot  a  \cdot  t = \frac {a}{2}  \cdot  t^2


Erweitert man die Gleichung s = \frac {a}{2}  \cdot  t^2 mit 2a, so entsteht rechts das Quadrat der Geschwindigkeit v^2 = a^2  \cdot  t^2 . Man kann daher die Gleichung so schreiben, dass sie die Zeit nicht mehr enthält:

Zitat:
2  \cdot  a  \cdot  s = a^2  \cdot  t^2 = v^2         v = \sqrt{2  \cdot  a  \cdot  s}


Diese Gleichung wird oft verwendet, wenn eine Beziehung zwischen dem Weg , der Geschwindigkeit und der Beschleunigung benötigt wird, die die Zeit nicht enthält. Trägt man in das Diagramm der Abb. 4 zu den Zeiten den Weg nach oben an, so erhält man eine Kurve, die als Parabel bezeichnet wird. Da sich die Kurve nicht so leicht zeichnen lässt wie eine Gerade, verwendet man bei einer beschleunigten Bewegung meist das v-t-Diagramm.

Abb.4 s-t-Diagramm einer gleilchmäßig beschleunigten Bewegung



Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit va

Die bisher ermittelten Formeln gelten nur, wenn der Körper aus der Ruhe beschleunigt wird. Besitzt er schon die Anfangsgeschwindigkeit va, so addiert sich der Geschwindigkeitszuwachs v = a  \cdot  t zur Anfangsgeschwindigkeit hinzu, und man erhält für die Endgeschwindigkeit ve:

Zitat:
v_e = v_a + a  \cdot  t


In Abb.5 ist das dazugehörige Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm dargestellt. Die Geschwindigkeit-Zeit-Gerade geht nicht mehr durch den Achsenschnittpunkt. Daher ist die den Weg kennzeichnende Fläche jetzt ein Trapez. Die Mittelparallele stellt die mittlere Geschwindigkeit vm dar:

Zitat:
v_m = \frac {v_a + v_e}{2}


Abb.5 Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit va



Da die Höhe des Trapezes der Zeit t entspricht, erhält man für den Weg:

Zitat:
s = \frac {V_a + V_e}{2} \cdot  t


oder, wenn man die Trapezfläche in das untere Rechteck und das obere Dreieck zerlegt:

Zitat:
s = v_a  \cdot  t + \frac {a}{2}  \cdot  t^2



Der Weg, der hier zu den Formeln der beschleunigten Bewegung führte, ist beispielhaft für die Arbeitsweise der Physik:

In einer Versuchsreihe wird eine Größe (hier: der Weg) willkürlich verändert und beobachtet, was dabei mit anderen Größen (hier: mit der Zeit) geschiet.

Die Ergebnisse werden in einer Tabelle oder zeichnerisch in einem Diagramm zusammengestellt.

Schließlich sucht man, alle Ergebnisse durch eine Formel zusammenzufassen.


Zitat:
1. Beispiel:

Ein Eisenbahnzug soll aus der Ruhe in 50 s auf eine Fahrgeschwindigkeit von 60 km/h gebracht werden. Wie groß ist die notwendige Beschleunigung, und wie weit fährt dabei der Zug?

v_e = 60 \frac {km}{h} = \frac {60  \cdot  1000}{3600} \frac {m}{s} = 16,67 \frac {m}{s}

a = \frac {v_e}{t} = \frac {16,67 m/s}{50 s} = \underline {0,33 \frac {m}{s^2}}

s = \frac {v_a + v_e}{2}  \cdot  t = \frac {0 + 16,67 m/s}{2}  \cdot  50 s = \frac {833,3}{2}m = \underline {416,7 m}


2. Beispiel:

Ein Auto durchfährt eine Kurve mit 20 km/h. Danach gibt der Fahrer Gas und erzeugt eine Beschleunigung von 1,5 m/s2. Die Beschleunigung dauert 6 s. Welche Geschwindigkeit wird erreicht, und welche Strecke wird in dieser Zeit durchfahren?

v_a = 20 \frac {km}{h} = \frac {20}{3,6} \frac {m}{s} = 5,55 \frac {m}{s}

v_e = v_a + a  \cdot  t = 5,55 \frac {m}{s} + 1,5 \frac {m}{s^2}  \cdot  6 s = (5,55 + 9) \frac {m}{s} = 14,55 \frac {m}{s}

v_e = 14,55  \cdot  3,6 \frac {km}{h} = \underline {52,4 \frac {km}{h}}

s = v_m  \cdot  t = \frac {v_a + v_e}{2}  \cdot  t = \frac {5,55 + 14,55}{2} \frac {m}{s}  \cdot  6 s = \frac {20,1  \cdot  6}{2} m

s = \underline {60,3 m}



4. Gleichmäßig verzögerte Bewegung

Bei einer verzögerten Bewegung nimmt die Geschwindigkeit ab; ve ist deshalb kleiner als va. Bei gleichmäßiger Geschwindigkeitsabnahme erhält man die Verzögerung \acute a , indem man die Differenz v_a - v_e durch die Zeit t dividiert:

Zitat:
\acute a = \frac {v_a - v_e}{t}


Das dazugehörige v-t-Diagramm ist in Abb. 1 dargestellt.



Löst man die Gleichung \acute a = \frac {v_a - v_e}{t} nach v_e auf, oder berechnet man auf dieselbe Weise wie in Nr.3 den zurückgelegten Weg, so erhält man entsprechende Gleichungen:


Zitat:
v_e = v_a - \acute a  \cdot  t

s = v_m  \cdot  t = \frac {v_a + v_e}{2}  \cdot  t     oder  s = v_a  \cdot  t - \frac {\acute a}{2}  \cdot  t^2


Die Geschwindigkeitsabnahme durch die Verzögerung kann so weit gehen, dass die Bewegung zum Stillstand kommt. Da in diesem Falle die Geschwindigkeit ve = 0 wird, erhält man zur Berechnung der Bremszeit tbr die Gleichung:

Zitat:
0 = v_a - \acute a  \cdot  t_{br}          t_{br} = \frac {v_a}{\acute a}


Den Bremsweg erhält man aus der zweiten Gleichung durch Einsetzen des gefundenen Wertes für tbr:

Zitat:
s_{br} = v_a  \cdot  t_{br} - \frac {\acute a}{2}  \cdot  t^2_{br} = v_a  \cdot  \frac {v_a}{\acute a} - \frac {\acute a}{2}  \cdot   \frac {v_a^2}{\acute a^2} =  \frac {v_a^2}{\acute a} -  \frac {v_a^2}{2 \acute a}


Zitat:
s_{br} =  \frac {v_a^2}{2 \acute a}


Der Bremsweg wird also bei größerer Verzögerung kleiner; er wächst aber bei doppelter, dreifacher.... Anfangsgeschwindigkeit wegen des Quadrates auf das Vier-, Neunfache usw.

Zitat:
Beispiel:

Welche Verzögerung müssen die Bremsen eines Autos hervorrufen, wenn es bei einer Geschwindigkeit von 50 km/h nach 15 m zum Stehen gebracht werden soll?

v_a = 50 \frac {km}{h} = 13,9  \frac {m}{s}

s =  \frac {v_a^2}{\2 \acute a}    \acute a =  \frac {(13,9m/s^2)}{30 m} = \underline {6,43 m/s^2}



Abb.2 veranschaulicht die Verhältnisse beim Anhalteweg eines Autos. Während der Reaktionszeit ("Schrecksekunde") fährt der Wagen noch gleichförmig mit der Geschwindigkeit v_a . Der in 1 s zurückgelegte Weg ist dann s_1 = v_a  \cdot  t = v_a  \cdot  1 s . Die nachfolgende Bremsstrecke s_2 = s_{br} = \frac {v_a^2}{2 \acute a} wächst quadratisch mit der Geschwindigkeit. In der Abbildung wurde die Verzögerung \acute a = 5 m/s^2 angenommen, so dass sich ergibt: s_{br} = \frac {v_a^2}{10m/s^2}





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