Verändern des Gehalts, Mischungsrechnen, Mischungskreuz

Verändern des Gehalts, Mischungsrechnen

Im Labor wie im Produktionsbetrieb werden häufig Lösungen gebraucht, die nicht im geforderten Gehalt zur Verfügung stehen.

Der Gehalt vorhandener Lösungen muß verändert werden. Dies geschieht zum

 

Verdünnen der Lösung durch    a) Zusatz von reinem Lösemittel

                                                  b) Zusatz von Lösung niederen Gehaltes

 

Verstärken der Lösung durch    a) Entzug von reinem Lösemittel ("Einengen")

                                                   b) Zusatz von Lösung höheren Gehaltes.

 

Alle mit dem Verdünnen oder Verstärken zusammenhängende Aufgabenstellungen können rechnerisch mit einer einzigen Gleichung, der

"allgemeinen - Mischungsgleichung", vielfach auch schneller mit dem "Mischungskreuz" gelöst werden.

 

 

 

Mischungsgleichung und Mischungskreuz

 

1. Mischungsgleichung

 

Aufgabe:

Es werden 100g Salpetersäure mit w (HNO3) = 10% und 50 g konzentrierter Salpetersäure mit w (HNO3) = 68% gemischt.

Wie groß ist

a) die Masse der Mischung mM,

b) der Massenanteil in der Mischung wM (HNO3)?

Rechengang:

Für das Mischen von Lösungen gilt mit dem Gesetz von der Erhaltung der Masse:

(1) Die Masse einer Mischung ist die Summe der Massen der Ausgangslösungen.

(2) Die Masse an gelöstem reinem Stoff in der Mischung ist gleich der Summe der Massen an gelöstem reinem Stoff in den     Ausgangslösungen.

a) Zu (1):

Masse Lösung 1 + Masse Lösung 2 = Masse Mischung
m1 + m2 mM
100 g 50 g 150g

b) Zu (2):

Masse an gelöstem reinem Stoff (HNO3 rein Stoff wasserfrei)

in Lösung 1: 100 g enthalten 100 g * 10 * 10-2 HNO3 (r.S.)
  [10 * 10-2 = 0,10]
in Lösung 2: 50 g enthalten 50 g * 68 * 10-2 HNO3 (r.S.)
  [68 * 10-2 = 0,68]
in der Mischung: 150 g enthalten 150 g * x *10-2 HNO3 (r.S.)

10-2 steht für %.

Aufstellen der Gleichung:

Masse gelöster reiner Stoff in Lösung 1

+

Masse gelöster reiner Stoff in Lösung 2

=

Masse gelöster reiner Stoff in der Mischung

m1 * w1

+

m2 * w2

=

mM * wM

100 g * 10 * 10-2

+

50 g * 68 * 10-2

=

150 g * x * 10-2

10g

+

34 g

=

1,5 * x

x = 44 g / 1,5 g = 29,3

 

 

 

 

Die Mischung hat die Masse mM = 150 g, der Massenanteil des gelösten reinen Stoffes ist w (HNO3) = 29,3 %.

Eine Erweiterung vorstehenden Gedankenganges auf beliebig viele Ausgangslösungen ergibt die:

Allgemeine Mischungsgleichung: (I)

m1 * w1 + m2 * w2 + ...+mi * wi = mM * wM

2. Mischungskreuz

In der Praxis werden meist nur zwei Lösungen miteinander gemischt.

Soll eine Mischung von geforderter Masse mM und gefordertem Massenanteil des gelösten Stoffes wM hergestellt werden, so sind - bei bekannten

Massenanteilen w1 und w2 - die Massen der beiden Ausgangslösungen m1 und m2 zu berechnen.

Das Massenverhältnis m1 : m2 ergibt sich aus der Umformung der Mischungsgleichung zu:

 

Mischungskreuz: (II)

m1 / m2 = (wM - w2) / (w1 - wM)

Aufgabe:

Durch Mischen von 68%iger mit 10%iger Salpetersäure soll 15%ige Salpetersäure hergestellt werden. Welches Massenverhältnis der Ausgangslösungen ist erforderlich?

Mit (II)

m1 = wM - w2 = 0,15 - 0,10 = 0,05 5 : 53
m2 w1 - wM 0,68 - 0,15 0,53

 

 

Das Massenverhältnis der Ausgangslösungen ist 5 : 53.

 

In der Praxis muß schnell gerechnet werden. Vorstehende Aufgabe kann auch mit einer Rechenhilfe, dem Mischungskreuz ("Andreaskreuz")

gelöst werden, das sich aus (II) ableitet.

Schreibe die Massenanteile der beiden Ausgangslösungen untereinander und dazwischen nach rechts hinausgerückt den geforderten Anteil der Mischung. Verbinde die Werte durch Striche und verlängere diese nach rechts hinaus zu einem Kreutz.

Bilde in Pfeilrichtung die Differenzen der Werte; subtrahiere dabei die kleinere von der größeren Zahl. Schreibe die Differenzen an das Pfeilende. (Vgl. (II).)

 

Ausgangslösungen Mischung  
Massenanteil in % Massenanteil in % Massenverhältnis der Ausgangslösungen

 

w1                                                                                m1

                                        wM

w2                                                                                m2

 

 

68                                                                                  5

                                         15

10                                                                                53

 

Das Massenverhältnis 68%ige zu 10%ige Salpetersäure beträgt 5:53.

 

Herstellen von Lösungen durch Mischen

 

1.Herstellen einer Lösung bei geforderter Masse und gefordertem Massenanteil durch Mischen

 

Aufgabe:

Es soll 1kg 15%ige Salpetersäure hergestellt werden. Zur Verfügung stehen 10%ige und 68%ige Salpetersäure. Wieviel Gramm dieser Lösungen sind zu mischen?

Rechengang:

I Mit der Mischungsgleichung:

Bei dieser Fragestellung stehen in der Mischungsgleichung zwei zu errechnende Größen, m1 und m2.Die Lösung ist nur über ein System von zwei

Gleichungen mit zwei Lösungsvariablen - Unbekannten - möglich.

 

Zweite Gleichung ist die Beziehung m1 + m2 = mM, in der mM bekannt ist. Nach dem Substitutionsverfahren gilt:

 

1. Gleichung (I) m1 + m2 = mM, daraus m2 = mM - m1

 

Einsetzen in Mischungsgleichung (II)

 

m1 * w1 + m2 * w2                = mM * wM

m1 * w1 + (mM - m1) * w2    = mM * wM

 

Umstellen in        m1 * w1 + mM * w2 - m1 * w2 = mM * wM

und                     m1 * w1 - m1 * w2                   = mM * wM - mM * w2

                          m1 * (w1 - w2)                         = mM * (wM - w2)

daraus                m1 = [mM * (wM - w2)] / w1 -w2

 

Mit den Werten mM = 1000g, wM = 15 * 10-2, w1 = 10 * 10-2 und w2 = 68 * 10-2:

 

m1 = [1000 g * (15 * 10-2 - 68 * 10-2) / 10 * 10-2 - 68 * 10-2

      = -530 g / -0,58

      = 913,8 g

 

2. Aus Gleichung (I)

m2 = 1000 g - 913,8 g = 86,2 g.

 

Es müssen 913,8 g 10%ige und 86,2 g 68%ige Salpetersäure gemischt werden.

 

 

 

II Mit dem Mischungskreuz

 

 

Massenverhältnis:

 

 

10%                                                            53 (g)

                                15%

68%                                                              5 (g)

 

Summe                                                        58 (g)

Mischung

 

Zweiter Rechenschritt über Dreisatz:

    58 g Mischung erfordern 53 g HNO3 10%ig

1000 g .................................x g......................

x = (53 g * 1000 g) / 58 g

x = 913,8 g HNO3 10%ig

An HNO3 68%ig werden dann 1000 g - 913,8 g = 86,2 g benötigt.

Es müssen 913,8 g 10%ige und 86,2 g 68%ige Salpetersäure gemischt werden.

 

 

 

2. Herstellen einer Lösung bei gefordertem Volumen und gefordertem Massenanteil durch Mischen

 

Aufgabe:

Es soll 1 l 15%ige Salpetersäure hergestellt werden. Zur Verfügung stehen 10%ige und 68%ige Salpetersäure. Wieviel Milliliter dieser Lösungen sind zu mischen?

Rechengang:

Mit Mischungsgleichung oder Mischungskreuz können nur zu mischende Massen berechnet werden. Volumina müssen daraus in einem weiteren Rechenschritt über bekannte Dichtewerte berechnet werden.

Dichte Werte:

r20 (HNO3 10%) = 1,0543 g/ml
r20 (HNO3 15%) = 1,0842 g/ml
r20 (HNO3 68%) = 1,40455 g/ml (vgl. Tabellenbuch)

I Mit dem Mischungskreuz:

10%                                                            53 (g)            53 g / 1,0543 g/ml    = 50,270 ml

                                  15%

68%                                                             5 (g)            5 g / 1,40455 g/ml    =   3,557 ml

Mischung                                                    58 (g)            58 g / 1,0842 g/ml    = 53,496 ml

Zum Mischen erfordern:

53,496 ml Mischung 50,270 ml HNO3 10%ig

   1000 ml .........................x ml ......................

x = (50,270 ml * 1000 ml) / 53,496 ml

x = 939,7 ml

 

 53,496 ml Mischung 3,557 ml HNO3 68%ig

   1000 ml .......................x ml ......................

x = (3,557 ml * 1000 ml) / 53,496 ml

x = 66,5 ml

 

Es sind 939,7 ml 10%ige und 66,5 ml 68%ige Salpetersäure zu mischen.

Beachte die Volumenkontraktion! Eine Berechnung des zweiten Wertes durch Differenzbildung ist bei Volumina nicht möglich!

 

II Mit der Mischungsgleichung:

Ehe über Dichte - Werte Volumina berechnet werden können, muß zunächst mit Massen gerechnet werden.

Wie unter "Herstellen einer Lösung bei geforderter Masse und gefordertem Massenanteil durch Mischen" muß zur Berechnung das

gleiche System von zwei Gleichungen mit zwei Lösungsvariablen (Unbekannten) aufgestellt werden.

Mit der dort abgeleiteten Formel ergibt sich für

m1 = [mM (wM - w2)] / w1 - w2

und den Werten

mM = 1000 ml * 1,0842 g/ml,

wM = 15 * 10-2,

w1 = 10 * 10-2,

w2 = 68 * 10-2:

m1 = [1084,2 g (15 * 10-2 - 68 * 10-2)] / 10 * 10-2 - 68 * 10-2

m1 = -574,6 g / -0,58 g

m1 = 990,7 g        990,7 g / 1,0543 g/ml = 939,7 ml

 

 m2 = 1084,2 g - 990,7 g = 93,5g 93,5 g / 1,40455 g/ml = 66,6 ml

Es sind 939,7 ml 10%ige und 66,6 ml 68%ige Salpetersäure zu mischen.

Der Rechengang mit der Mischungsgleichung wurde bei dieser Aufgabe im Gegensatz zu früheren als zweite Rechenmöglichkeit dargestellt.

Es bleibt jedem Rechenden selbst überlassen, ob er in der Praxis ein Rechnen mit Mischungsgleichung oder Mischungskreuz bevorzugt.

 

3. Verdünnen von Lösungen

Bei Zusatz oder Entzug von Lösemitteln ist das reine Lösemittel in Mischungsgleichung und Mischungskreuz als nullprozentige Lösung anzusehen.

Aufgabe:

Es soll 1 l 15%ige Salpetersäure hergestellt werden. Wieviel Milliliter Wasser und wieviel Milliliter 68%ige Salpetersäure sind zu mischen?

Rechengang:

I Mit der Mischungsgleichung:

Mit Wasser als "nullprozentiger Lösung 2" entfällt in der allgemeinen Mischungsgleichung (I) der zweite Term (w2 = 0). Die Gleichung verkürzt sich zu:

w1 * m1 = wM * mM oder mit Index A für "Ausgangslösung" wA * mA = wM * mM

Entwickeln nach gesuchtem m1 und Einsetzen der Werte:

mA = (wM * mM) / wA

mA = (15 * 10-2 * 1084,2 g) / 68 * 10-2

mA = 239,2 g 170,3 ml

 

 m (Wasser) = mM - m1

m (Wasser) = 1084,2 g - 293,2 g

m (Wasser) = 845,0 g 845,0 ml

Dichte Werte:

r20 (HNO3 15%) = 1,0842 g/ml
r20 (HNO3 68%) = 1,40455 g/ml
r20 (H2O) = 1,0 g/ml (vgl. Tabellenbuch)

 

II Mit dem Mischungskreuz:

0%                                                            53 (g)        53 ml

                                15%

68%                                                          15 (g)        10,68 ml

Mischung                                                   68 (g)        62,72 ml

62,72 ml Mischung erfordern 53 ml H2O

1000 ml ..................................x ml.........

x = (53 ml * 1000 ml) / 62,72 ml

x = 845,0 ml

 62,72 ml Mischung erfordern 10,68 ml HNO3 68%ig

1000 ml .......................................x ml......................

x = (10,68 ml * 1000 ml) / 62,72 ml

x = 170,3 ml

 

Es sind 845,0 ml Wasser mit 170,3 ml 68%iger Salpetersäure zu mischen.

 

4. Einengen von Lösungen

Beim Einengen von Lösungen - Entzug von Lösemitteln - müssen sowohl in Mischungsgleichung als auch Mischungskreuz Differenzen gebildet werden.

Aufgabe 1:

1 kg 10%ige Salpetersäure soll auf den Massenanteil des Konzentrats wK = 15% verstärkt - konzentriert - werden. Wieviel Gramm Wasser sind zu entziehen, welche Masse hat das Konzentrat?

Rechengang:

I Mit der Mischungsgleichung:

Wie unter - Verdünnen von Lösungen - abgeleitet ( siehe und vergleiche dort), wird auch beim Einengen von Lösungen das Lösemittel - Wasser - als

"nullprozentige Lösung" aufgefaßt. Damit entfällt in der Mischungsgleichung der zweite Term; die Masse des Konzentrates ist die Differenz aus Masse

Ausgangslösung und Masse entzogenes Wasser.

 

Die Mischungsgleichung vereinfacht sich für das Einengen einer Lösung zu:

mA * wA = (mA - mW) * wK

Die Indices A, W und K stehen für Ausgangslösung, Wasser und Konzentrat.

 

Einsetzen der Werte:

1000g * 10 * 10-2       = (1000g - mW) * 15 * 10-2

 100 g                         = 150 g - mW

mW                             = 333,3 g

 

II Mit dem Mischungskreuz:

 

10%                                                            15 (g)

 

                               

                                15%

 

 

0%                                                                 5 (g)

 

Differenz                                                       10 (g)    Konzentrat

 

 

   15 g HNO3 10%ig sind 5 g H2O zu entziehen

1000g ..............................x g ...........................

x = (5 g * 1000 g) / 15 g

x = 333,3 g

 

Zum Verstärken sind 333,3 g Wasser zu entziehen. Die Masse des Konzentrats beträgt dann:

 

mK = 1000g - 333,3 g

mK = 666,7 g.

 

 

 

Aufgabe 2:

 

Es sollen 800ml 15%ige Salpetersäure hergestellt werden.

a) wieviel Milliliter 10%ige Salpetersäure sind zum Verstärken einzusetzen,

b) wieviel Milliliter Wasser sind zu entziehen?

Rechengang:

Mit dem Mischungskreuz:

Dichte Werte:

r20 (HNO3 10%) = 1,0543 g/ml
r20 (HNO3 15%) = 1,0842 g/ml
r20 (H2O) = 1,0 g/ml (vgl. Tabellenbuch)

10%                                                            15 (g)            14,228 ml

                                15%

0%                                                                5 (g)                     5 ml

 

Konzentrat                                                   10 (g)              9,223 ml

a) Es erfordern

9,223 ml Konzentrat 14,228 ml HNO3 10%ig

   800 ml ...........................x ml .....................

x = (14,228 ml * 800 ml) / 9,223 ml

x = 1234 ml

 

 b) Es sind zu entziehen

14,228 ml HNO3 10%ig 5 ml H2O

   1234 ml ......................x ml ........

x = (5 ml * 1234 ml) / 14,228 ml

x = 433,7 ml 

Es sind 1234 ml 10%ige Salpetersäure einzusetzen und davon 433,7 ml Wasser zu entziehen.